Depende do tipo de arma que você usa. O limite de ataques de um arco seria o número de ataques adicionais que você tem, já uma besta funciona diferente, pois bestas possuem a propriedade recarga (Livro Básico p. 149) e segundo as regras você pode fazer apenas um ataque por ação com armas que possuam essa propriedade. Se você quiser usar uma besta para atacar a distancia ter o talento "Especialista em Besta" é obrigatório (Livro Básico p. 169), pois dessa forma você vai ignorar a penalidade de recarga com bestas que você sabe usar, além de ganhar muitos outros bônus bem interessantes. Agora basta saber a quantidade de ataques adicionais que você tem por turno e pronto, você descobriu a quantidade de flechas que pode atirar em uma ação. Espero ter ajudado, bom jogo pessoa.
Obs: as referências são do manual do jogador em português, se o seu manual estiver escrito em inglês o nome do talento é Crossbow Expert. Também não estou levando em conta o número de flechas que você possui porque não acho que seja relevante para essa pergunta. Por último, como você joga de patrulheiro, recomendo dar uma olhada nas magias, algumas delas (não me lembro quais) permitem que você faça ataques adicionais.